Equazioni di Maxwell
| \(\Phi_S\left(\vec{E}\right)=\dfrac{Q}{\epsilon_0}\) | \(\Phi_S\left(\vec{B}\right)=0\) |
| \(\Gamma_\gamma\left(\vec{E}\right)=-\dfrac{d\Phi_S\left(\vec{B}\right)}{dt}\) | \(\Gamma_\gamma\left(\vec{B}\right)=\mu_0\left(i+\epsilon_0\dfrac{d\Phi_S\left(\vec{E}\right)}{dt}\right)\) |
Sappiamo che, in un condensatore, la corrente di carica coincide con la corrente di spostamento:
$$i_c=i_s=\epsilon_0\dfrac{d\Phi_S\left(\vec{E}\right)}{dt}$$
che possiamo anche esprimere nel seguente modo:
$$i_c=i_s=\epsilon_0\dfrac{\Delta\Phi_S\left(\vec{E}\right)}{\Delta t}$$
Ricordiamo, inoltre, che la circuitazione del campo magnetico lungo una linea di forza di campo magnetico, vale:
$$\Gamma_\gamma\left(\vec{B}\right)=\oint_{\gamma} \vec{B}\cdot d\vec{s}$$
Vediamo adesso alcuni esempi.
Esercizio 36 pag 122 Fisica e realtà Blu 3
Il campo magnetico indotto presente tra le armature circolari di un condensatore piano a una distanza di \(2.1\ cm\) dal loro asse vale \(9.2\ 10^{−11}\ T\). Il raggio delle armature è \(6.7\ cm\).
- Calcola la corrente di carica del condensatore. \(\mathbf{[98\ \mu A]}\)
Noto il vettore induzione magnetica \(\vec B\) determiniamo la corrente di spostamento \(i_{s_0}\) attraverso l’area \(S_0\) del cerchio di raggio \(r_0\) così come illustrato in figura:
$$\Gamma_\gamma\left(\vec{B}\right)=\oint_{\gamma} \vec{B}\cdot d\vec{s}=\mu_0\ \epsilon_0\dfrac{d\Phi_S\left(\vec{E}\right)}{dt}$$
$$\oint_{\gamma_0} \vec{B}\cdot d\vec{s}=\mu_0\ i_{s_0}$$
Tenuto conto che il vettore induzione magnetica è costante lungo la circuitazione \(\gamma_0\) e sempre in fase con il vettore \(d\vec{s}\) si ottiene:
$$\oint_{\gamma_0} \vec{B}\cdot d\vec{s}= B \oint_{\gamma_0} ds= \mu_0\ i_{s_0}$$
inoltre essendo:
$$\oint_{\gamma_0} ds=2\pi\ r_0$$
si ottiene in definitiva:
$$B\ 2\pi\ r_0=\mu_0\ i_{s_0}\hspace{1cm}\Rightarrow\hspace{1cm}i_{s_0}=\dfrac{2\pi\ r_0}{\mu_0}\ B$$
passando al calcolo si ottiene:
\(i_{s_0}=\dfrac{2\pi\ r_0}{\mu_0}\ B=\dfrac{2\pi\ 2.1\cdot 10^{-2}}{4\pi \cdot 10^{-7}}\ 9.2\cdot 10^{-11}=9.66\cdot10^{-6}\ A\)
Nota la corrente di spostamento determiniamo la variazione di flusso di campo elettrico che l’ha prodotta:
\(i_{s_0}=\epsilon_0\dfrac{\Delta\Phi_{S_0}\left(\vec{E}\right)}{\Delta t}=\epsilon_0\dfrac{\Delta E\cdot S_0}{\Delta t}\)
\(\dfrac{\Delta E}{\Delta t}=\dfrac{i_{s_0}}{\epsilon_0\ S_0}=\dfrac{i_{s_0}}{\epsilon_0\ \pi\ r_0^2}=\dfrac{9.66\cdot10^{-6}}{8.854\cdot 10^{-12}\cdot \pi \cdot \left(2.1\cdot 10^{-2}\right)^2 }=787.5 \cdot 10^6\ \dfrac{V}{m \cdot s}\)
Calcolo adesso la corrente di spostamento inerente tutto il condensatore quindi relativa ad una circuitazione pari alla dimensione dell’armatura:
\(i_s=\epsilon_0\dfrac{\Delta\Phi_{S}\left(\vec{E}\right)}{\Delta t}=\epsilon_0\dfrac{\Delta E\cdot S}{\Delta t}=\epsilon_0\dfrac{\Delta E\cdot \pi\ R^2}{\Delta t}=8.854\cdot 10^{-12}\cdot 787.5 \cdot 10^6 \cdot \pi \cdot\left(6.7\cdot 10^{-2}\right)^2=98\ \mu A \)