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Il circuito simmetrico ed equilibrato indicato in figura rappresenta uno schema semplificato di un motore asincrono trifase a \(2\) coppie polari funzionante a \(50\ Hz\). In condizioni nominali gli strumenti indicano i seguenti valori: \(V=380\ V\), \(A=10\ A\); \(W=2400\ W\). A rotore bloccato gli strumenti indicano invece i seguenti valori: \(V=380\ V\) ed \(A=27\ A\). Sapendo che \(R_1=1.5 R_2’\) calcolare:
- il fattore di potenza del motore in condizioni nominali \(\mathbf{[0.935]}\)
- i parametri \(R_1\), \(X\), \(R_2’\) del circuito equivalente \(\mathbf{[R_1=1.366\ \Omega;\ X=7.8\ \Omega;\ R_2’=0.91\ \Omega]}\)
- l’indicazione del wattmetro a rotore bloccato \(\mathbf{[-2434 W]}\)
- la velocità in condizioni nominali \(\mathbf{[1429rpm]}\)
SOLUZIONE
- Calcolo della velocità del campo magnetico rotante
\(n_0=\dfrac{60\ f}{p}=\dfrac{60\cdot 50}{2}=1500\ giri/min\)
► Calcolo del fattore di potenza del motore in condizioni nominali
In figura è rappresentato una versione semplificata del motore asincrono trifase, infatti, in esso non compaiono gli elementi trasversali per cui il problema ci suggerisce di poter considerare trascurabili le perdite nel ferro dovute alle correnti parassite ed al ciclo d’isteresi.
Il motore asincrono trifase rappresenta sempre un carico equilibrato, difatti, di norma, si considera come schema circuitale l’equivalente monofase.
Al fine di determinare il fattore di potenza, eseguiamo la stessa operazione che compie il wattmetro, ovvero, il prodotto scalare tra la tensione presente ai capi delle voltmetriche \(\vec{V}_{12}\) e la corrente che attraversa i contatti amperometrici del wattmetro \(\vec{I}_{1}\).
$$W={\vec{V}}_{12}\cdot {\vec{I}_{1}}=V_{12}I_{1}\ cos({\hat{V_{12}I_{1}}})$$
considerando i vettori in figura:
l’angolo: \(\hat{V_{12}I_{1}}\) può essere espresso nel seguente modo :
\(\hat{V_{12}I_{1}}=30+\varphi\)
Quindi:
\(W={\vec{V}}_{12}\cdot {\vec{I}_{1}}=V_{12}I_{1}\ cos({\hat{V_{12}I_{1}}})=V_{12}I_{1}\ cos(30+\varphi)\)
\(cos(30+\varphi)=\dfrac{W}{V_{12}I_{1}}=\dfrac{2400}{380\cdot 10}=0.6316\)
\(30+\varphi=arccos(0.6316)=50.833° \hspace{3cm} \varphi=50.833-30=20.833°\)
\(cos\ \varphi=cos(20.833)=0.935\)
► Calcolo dei parametri \(R_1\), \(X\), \(R_2’\) del circuito equivalente
Riguardo alla determinazione dei parametri \(R_1\), \(X\), \(R_2’\) prendiamo in considerazione l’equivalente monofase del motore:
La cui impedenza in condizioni nominali vale:
\(Z_n=\dfrac{E_1}{I_1}=\dfrac{219.39}{10}=21.939\ \Omega\)
poiché è noto il fattore di potenza del motore nelle condizioni nominali è possibile dedurre dall’impedenza precedentemente determinata la reattanza di cortocircuito qui indicata con \(X_1\):
\(X_1=Z\ sen\varphi=21.939\cdot sen(20.833)=7.8 \Omega\)
Non possiamo, però, determinare il valore della resistenza di cortocircuito in quanto non è noto lo scorrimento. Vi è però una particolare configurazione del motore per la quale il valore dello scorrimento è noto e vale 1, stiamo ovviamente parlando della configurazione a rotore bloccato. In tale ipotesi il circuito rappresentativo di una fase diventa:
in tali condizioni, il circuito assorbe dalla rete una corrente pari a \(27A\) per fase, per cui l’impedenza di cortocircuito vale:
\(Z_{cc}=\dfrac{E_1}{I_1}=\dfrac{219.39}{27}=8.13\ A\)
La \(X_1\) mantiene il valore precedentemente calcolato per cui:
\(R_{cc}=\sqrt{Z^2-X_1^2}=\sqrt{8.126^2-7.8^2}=2.279\ \Omega\)
\(R_{cc}=R_1+R_2’=1.5\ R_2’+R_2’=2.5\ R_2’\)
\(R_2’=\dfrac{R_{cc}}{2.5}=\dfrac{2.279}{2.5}=0.911\ \Omega\)
\(R_1=1.5\ R_2’=1.5\cdot 0.911=1.367\ \Omega\)
► l’indicazione del wattmetro a rotore bloccato
Anche in questo caso si ricorre al prodotto scalare tra tensione presente alle voltmetriche del wattmetro e la corrente che in quest’ultimo fluisce. Per eseguire tale prodotto ci occorre conoscere l’angolo tra la tensione \(\vec{V}_{12}\) e la corrente \(\vec{I}_1\). A tal fine calcoliamo innanzitutto l’angolo di cortocircuito, ovvero, l’angolo presente tra la tensione \(\vec{E}_1\) e la corrente \(\vec{I}_1\) :
\(\varphi_{cc}=arctang\left(\dfrac{X}{R}\right)=arctang\left(\dfrac{7.8}{2.279}\right)=73.7127\)
L’angolo tra la tensione \(\vec{V}_{12}\) e la corrente \(\vec{I}_1\) si ottiene, allora, aggiungendo all’angolo di cortocircuito, l’angolo tra la tensione concatenata \(\vec{V}_{12}\) e la tensione di fase\(\vec{E}_1\) che come sappiamo è pari a 30°, per cui:
\(\hat{\vec{V}_{12}\vec{I}_{1}}=\hat{\vec{E}_1\vec{I}_1}+ \hat{\vec{V}_{12}\vec{E}_{1}} = 73.7127+30 = 103.7127°\)
Quindi in definitiva il wattmetro segnerà il seguente valore:
\(W_{12}=\vec{V}_{12}\cdot \vec{I}_{1}=V_{12}\cdot I_1\ cos\hat{\vec{V}_{12}\vec{I}_{1}}=380\cdot 27\cdot cos103.7127=-2432.17\ W \)
► Calcolo lo scorrimento nominale
\(R_1+\dfrac{{R’}_2}{s}=\sqrt{Z_n^2-X_1^2}\)
da cui:
\(s=\dfrac{{R’}_2}{\sqrt{Z_n^2-X_1^2}-R_1}=\dfrac{0.911}{\sqrt{21.939^2-7.8^2}-1.367}=0.0476\)
a cui compete una velocità pari a:
\(n=n_0(1-s)=1500(1-0.0476)=1428.6\simeq 1429 giri/min\)