I dati di prova di un motore asincrono di:
\(P=15\ kW,\hspace{2cm} V=380\ V\)
\(I=30.5\ A, \hspace{2cm} n=1440\ giri/min\hspace{2cm}p=2;\)
per la prova a vuoto sono:
\(I_0\%=52.4\%\ \hspace{2cm} P_{fe}\%=2.7\%\hspace{2cm} cos\varphi_0=0.04\)
per quella in corto circuito:
\(P_{cc}\%=12.7\%\hspace{2cm} cos\varphi_{cc}=0.47\)
La resistenza di statore è stata misurata in corrente continua mediante una misura tra due morsetti dello statore collegato a stella. Il voltmetro ha misurato \(1\ V\) e l’amperometro \(2\ A\).
Calcolare:
- i parametri del circuito equivalente, riportando i parametri a vuoto a monte dello statore \(\mathbf{[R_s=0.25\ \Omega;\ R_r=0.432\ \Omega;\ X_{cc}=1.28\ \Omega;\ R_0=356\ \Omega;\ X_0=14.27\ \Omega]}\)
- la potenza e la coppia meccanica erogata quando il motore gira ad una velocità di \(1470\ giri/min\)
\(\mathbf{[P=6414\ W;\ T=41.6\ N\cdot m]}\) - il rendimento del motore in queste condizioni \(\mathbf{[0.91]}\)
Soluzione
Il testo non è molto chiaro, non viene specificato se i dati fornitici sono quelli nominali. inoltre non è chiaro cosa indica la \(P_{cc}\%\), ovvero, come viene calcolata tale percentuale. Lo stesso dicasi riguardo ai dati relativi alla prova a vuoto. Facciamo quindi, le seguenti ipotesi:
- assumiamo che i valori siano quelli nominali;
- assumiamo, che sia la potenza relativa alla prova di cortocircuito percentuale sia la potenza persa nel ferro espressa in percentuale sia riferita alla potenza nominale, ovvero:
$$P_{cc}\%=\dfrac{P_{cc}}{P_n}100\hspace{2cm}P_{fe}\%=\dfrac{P_{fe}}{P_n}100$$
- Assumiamo, inoltre, che la corrente assorbita durante la prova a vuoto, anch’essa espressa in percentuale, sia riferita alla corrente nominale, ovvero:
$$I_{0}\%=\dfrac{I_0}{I_n}100$$
- Calcolo della velocità del campo magnetico rotante e dello scorrimento
\(n_0=\dfrac{60\ f}{p}=\dfrac{60\cdot 50}{2}=1500\ giri/min\)
\(s=\dfrac{n_0-n}{n_0}=\dfrac{1500-1440}{1500}=0.04\)
Calcolo dei parametri
Consideriamo il modello a flusso bloccato cosi come richiesto dal punto 1.
Utilizziamo i dati della prova in cortocircuito per la quale possiamo considerare trascurabili gli elementi trasversali per cui il circuito diventa:
\(P_{cc}=\dfrac{P_{cc}\%\ P_n}{100}=\dfrac{12.7\cdot 15000}{100}=1905\ W\)
- Calcoliamo la resistenza e la reattanza di cortocircuito
\(R_{cc}=\dfrac{P_{cc}}{3\ I_n^2}=\dfrac{1905}{3\cdot 30.5^2}=0.6826\ \Omega\)
\(X_{cc}=R_{cc}\ tang\ \varphi_{cc}=0.6826\ tang(arccos(0.47))=1.28\ \Omega\)
- Calcoliamo la resistenza statorica
La resistenza di statore è stata misurata in corrente continua mediante una misura tra due morsetti dello statore collegato a stella. Il voltmetro ha misurato \(1\ V\) e l’amperometro \(2\ A\). Quindi:
$$2\ R_s=\dfrac{V}{I}$$
da cui:
\(R_s=\dfrac{V}{2\ I}=\dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{4}=0.25\ \Omega\)
- Calcolo della resistenza rotorica
\(R_r=R_{cc}-R_s=0.6826-0.25=0.4326\ \Omega\)
Calcolo dei parametri trasversali
Consideriamo i dati relativi alla prova a vuoto, il cui circuito equivalente risulta essere:
\(I_0=\dfrac{I_0\%\ I_{1n}}{100}=\dfrac{52.4\cdot 30.5}{100}=15.982A\)
\(P_{fe}=\dfrac{P_{fe}\%\ P_n}{100}=\dfrac{2.7\cdot 15000}{100}=405\ \Omega\)
- Calcolo di \(R_0\) e \(X_0\)
\(P_{fe}=\dfrac{V^2}{R_0}\hspace{2cm}R_0=\dfrac{V^2}{P_{fe}}\)
quindi:
\(R_0=\dfrac{V^2}{P_{fe}}=\dfrac{380^2}{405}=356.54\ \Omega\)
\(X_0=\dfrac{R_0}{tang\ \varphi_0}=\dfrac{356.54}{24.98}=14.27\ \Omega\)
Punto 2 – Calcolo della potenza meccanica e della coppia meccanica a 1470 giri/min
- Calcolo dello scorrimento relativo ad una velocità di 1470 giri/min
\(s=\dfrac{n_0-n}{n_0}=\dfrac{1500-1470}{1500}=0.02\)
- Calcolo della potenza persa per attrito e ventilazione
La potenza assorbita durante la prova a vuoto è espressa dalla relazione:
\(P_0=P_{JS0}+P_{fe}+P_{AV}\)
ma viste le indicazioni espresse nel testo, ovvero di utilizzare il modello a flusso bloccato, nel calcolo di \(P_0\) non va considerata la \(P_{JS0}\). Quindi:
\(P_0=P_{fe}+P_{AV}=\)
Calcolo \(P_0\):
\(P_0=\sqrt{3}\ V_n\ I_0\ cos\ \varphi_0=\sqrt{3} \cdot 380\cdot 15.982\cdot 0.04=420.76\ W \)
\(P_{AV}=P_0-P_{fe}=420.76-405=15.76\ W\)
Per il calcolo della potenza meccanica mi occorre conoscere la potenza trasmessa. Per il calcolo della potenza trasmessa considerò il circuito:
La potenza trasmessa coincide con la potenza “dissipata” nella resistenza \(R_2’/s\) per determinare tale potenza ci occorre conoscere la corrente \(I_1’\), la quale può essere calcolata applicando la semplice legge di Ohm:
\(I_1’=\dfrac{V_{1f}}{\sqrt{\left(R_1+\dfrac{{R’}_2}{s}\right)^2+X_{cc}^2}}=\dfrac{220}{\sqrt{\left(0.25+\dfrac{0.4326}{0.02}\right)^2+1.28^2}}=10.04\ A\)
\(P_t=3\ \dfrac{{R’}_2}{s}\ I_1’^{\ 2}=3\cdot \dfrac{0.4326}{0.02}\cdot 10.04^2=6541.02W\)
La potenza meccanica vale:
\(P_M=P_t\ (1-s)=6541.02\cdot (1-0.02)=6410.2\ W\)
La differenza dei \(4\ W\) nasce dall’aver considerato per il valore di \({R’}_2 \ 0.4326\) invece di \(0.432\).
- Calcolo della coppia meccanica
\(C_M=\dfrac{60\ P_M}{2\pi\ n}=\dfrac{60\cdot 6410.2}{2\pi\ 1470}=41.6\ N\cdot m\)
Punto 3 – Calcolo del rendimento
\(P_{resa}=P_M-P_{AV}=6410.2-15.76=6394.44\ N\cdot m\)
La potenza assorbita vale:
\(P_{ass}=P_{JS}+P_{fe}+P_{add}+P_t\)
\(P_{ass}=\dfrac{P_{JS}+P_{fe}+P_t}{1-\dfrac{0.5}{100}}=\dfrac{3\cdot 0.25\cdot 10.04^2+405+6541.02}{1-\dfrac{0.5}{100}}=7056.9\)
\(\eta=\dfrac{P_{resa}}{P_{ass}}=\dfrac{6394.44}{7056.9}=0.9061\simeq 0.91\)