Il trasformatore è una macchina statica, ovvero non presenta parti in movimento, quindi, non vi sono perdite meccaniche. La rappresentazione circuitale viene di seguito riportata:
La potenza persa durante il funzionamento è data dalla somma delle perdite nel ferro rappresentate dalla resistenza \(R_a\) e di quelle nel rame rappresentate dalle resistenza \(R_1\ ed\ R_2\):
$$P_p=P_f+P_{cu}$$
Le perdite nel ferro dipendono dal quadrato della tensione applicata e si possono ritenere pari alla potenza assorbita dal trasformatore durante il funzionamento a vuoto. In realtà, le perdite relative al funzionamento a vuoto valgono:
$$P_0=R_1 I_0^2+P_{fe}$$
ma visto il basso valore sia della resistenza dell’avvolgimento primario \(R_1\) che della corrente \(I_0\) il termine \(R_1 I_0^2\) si può ritenere trascurabile ed assumere come realistica l’uguaglianza:
$$P_0 \simeq P_{fe}$$
Come conseguenza di ciò possiamo affermare che:
“le perdite nel rame, risultano presenti, solo quando il secondario del trasformatore viene chiuso su un carico”
in tal caso, le perdite nel rame valgono:
$$P_{cu}=R_1 I_1^2+R_2 I_2^2$$
Modello equivalente secondario
Utilizzando il modello equivalente al secondario, risulta ancora più chiaro ciò che è stato detto fin qui :
per cui:
$$P_{fe}=\dfrac{V_1^2}{R_a}\hspace{2cm}P_{cu}=R_{2cc} I_2^2$$
In condizioni nominali, ovvero, quando il trasformatore è attraversato dalle correnti nominali, le perdite nel rame coincideranno con quelle misurate nella prova di cortocircuito, che indicheremo con \(P_{cc}\), ossia:
$$P_{cc}=R_1 I_{1n}^2+R_2 I_{2n}^2=R_{2cc} I_{2n}^2$$
Frazione di carico
Introducendo il rapporto:
$$\alpha=\dfrac{I_2}{I_{2n}}$$
al quale si dà il nome di frazione di carico è possibile legare le perdite nel rame, in un qualunque punto di lavoro del trasformatore, con le perdite nel rame in condizioni nominali, ovvero:
$$P_{cu}=R_{cc} I_2^2= R_{cc} \left(\alpha I_{2n}\right)^2=\alpha^2 R_{2cc} I_{2n}^2=\alpha^2 P_{cc}$$
$$P_{cu}=\alpha^2 P_{cc}$$
Note le perdite è possibile esprimere il rendimento del trasformatore attraverso l’espressione:
$$\eta=\dfrac{P_2}{P_1}=\eta=\dfrac{P_2}{P_2+P_{fe}+P_{cu}}$$
tale espressione prende il nome di rendimento effettivo essendo \(P_{fe}\) e \(P_{cu}\) le perdite effettivamente perse rispettivamente nel ferro e nel rame, tale rendimento differisce da quello che viene definito come rendimento convenzionale per il fatto che, in quest’ultimo, le perdite nel ferro e le perdite nel rame vengono sostituite rispettivamente dalla potenza assorbita durante la prova a vuoto \(P_0\) e dalla potenza assorbita durante la prova di cortocircuito \(P_{cc}\):
$$\eta=\dfrac{P_2}{P_2+P_{0}+P_{cc}}$$
Si noti che, mentre è facile che le perdite nel ferro coincidano con la potenza assorbita nella prova a vuoto ( ciò accade ogni qualvolta il trasformatore viene alimentato alla tensione nominale) al contrario non capita mai o quasi mai che gli avvolgimenti del trasformatore siano interessati esattamente dalla corrente nominale per cui solitamente \(P_{cc}\neq P_{cu}\).
Nel caso in cui, il trasformatore non sia alimentato alla tensione nominale le perdite nel ferro sempre proporzionali al quadrato della tensione possono essere calcolate nel seguente modo:
$$P_{fe}=k\ V_{1}^2\hspace{2cm}P_{0}=k\ V_{1n}^2$$
eseguendo il rapporto membro a membro:
$$\dfrac{P_{fe}}{P_{0}}=\left(\dfrac{V_{1}}{V_{1n}}\right)^2$$
da cui:
$$P_{fe}=\left(\dfrac{V_{1}}{V_{1n}}\right)^2P_0$$
Determinazione del valore massimo del rendimento e del valore del fattore di carico in cui il rendimento assume il massimo.
Utilizzando le espressioni precedentemente ricavate, è possibile esprimere il rendimento nel seguente modo:
$$\eta=\dfrac{V_2I_2\ cos\varphi_2}{V_2I_2\ cos\varphi_2+P_{0}+R_{2cc} I_2^2}=\dfrac{\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2}{\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2+P_{0}+\alpha^2R_{2cc} I_{2n}^2}$$
Abbiamo quindi espresso, il rendimento, come una funzione della frazione di carico \(\eta(\alpha)\).
Ci chiediamo a questo punto, se esiste un valore particolare della frazione di carico per cui il rendimento sia massimo. Eseguo la derivata:
$$\dfrac{d\eta(\alpha)}{d\alpha}=\dfrac{\left[V_2I_2\ cos\varphi_2\right]\left[\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2+P_{0}+\alpha^2R_{2cc} I_{2n}^2\right]-\left[\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2\right]\left[V_2I_{2n}\ cos\varphi_2+2\alpha R_{2cc}I_{2n}^2\right]}{\left[\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2+P_{0}+\alpha^2R_{2cc} I_{2n}^2\right]^2 }$$
Studio il segno della derivata
$$\dfrac{\left[V_2I_2\ cos\varphi_2\right]\left[\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2+P_{0}+\alpha^2R_{2cc} I_{2n}^2\right]-\left[\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2\right]\left[V_2I_{2n}\ cos\varphi_2+2\alpha R_{2cc}I_{2n}^2\right]}{\left[\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2+P_{0}+\alpha^2R_{2cc} I_{2n}^2\right]^2 }>0$$
da cui:
$$\left(V_2I_2\ cos\varphi_2\right)\left[\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2+P_{0}+\alpha^2R_{2cc} I_{2n}^2-\alpha \left(V_2I_{2n}\ cos\varphi_2+2\alpha R_{2cc} I_{2n}^2\right)\right]>0$$
\(\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2+P_{0}+\alpha^2R_{2cc} I_{2n}^2-\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2-2\alpha^2 R_{2cc} I_{2n}^2>0\)
\(\cancel{\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2}+P_{0}+\alpha^2R_{2cc} I_{2n}^2-\cancel{\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2}-2\alpha^2 R_{2cc} I_{2n}^2>0\)
\(P_{0}+\alpha^2R_{2cc} I_{2n}^2+2\alpha^2 R_{2cc} I_{2n}^2>0\)
\(P_{0}+\alpha^2P_{cc}-2\alpha^2 P_{cc}>0 \hspace{2cm}P_{0}-\alpha^2P_{cc}>0\)
\(\alpha^2P_{cc}-P_{0}<0\)
risolvo l’equazione associata \(\alpha^2P_{cc}-P_{0}=0\) ed ottengo i valori:
$$\alpha_1=-\sqrt{\dfrac{P_0}{P_{cc}}}\hspace{1cm};\hspace{1cm}\alpha_2=+\sqrt{\dfrac{P_0}{P_{cc}}}$$
Quindi abbiamo un massimo nel punto:
$$\alpha_{cr}=\sqrt{\dfrac{P_0}{P_{cc}}}$$
ricordando la definizione della frazione di carico espressa attraverso le potenze:
$$P_{cu}=\alpha^2 P_{cc}\hspace{1 cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \alpha=\sqrt{\dfrac{P_{cu}}{P_{cc}}}$$
confrontando quest’ultima espressione con la frazione di carico critica \(\alpha_{cr}\) si deduce l’importante risultato che afferma:
Un trasformatore raggiunge il suo rendimento massimo quando le perdite nel rame eguagliano quelle nel ferro
Il valore massimo del rendimento si ottiene, ovviamente, sostituendo la frazione di carico critica nell’espressione del rendimento da cui ottengo:
\(\eta(\alpha)=\dfrac{\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2}{\alpha V_2I_{2n}\ cos\varphi_2+P_{0}+\alpha^2R_{2cc} I_{2n}^2}=\dfrac{\alpha P_2}{\alpha P_2+P_{0}+\alpha^2P_{cc}}\)
divido tutto per \(\alpha\):
\(\eta(\alpha)=\dfrac{P_2}{P_2+\dfrac{P_{0}}{\alpha}+\alpha P_{cc}}\)
sostituisco:
\(\eta(\alpha_{cr})=\dfrac{P_2}{P_2+\dfrac{P_{0}}{\sqrt{\dfrac{P_0}{P_{cc}}}}+\sqrt{\dfrac{P_0}{P_{cc}}} P_{cc}}=\dfrac{P_2}{P_2+\sqrt{P_{0}P_{cc}}+\sqrt{P_0P_{cc}}}\)
quindi in definitiva:
$$\eta_{max}=\dfrac{P_2}{P_2+2\sqrt{P_{0}P_{cc}}}$$
Alcuni grafici
Andamento della \(P_{cu}\) in funzione della corrente \(I_2\) dedotta sempre considerando il modello equivalente al secondario, per il quale risulta, \(P_{cu}=R_{2cc}I_2^2\) quindi un andamento parabolico. Per rendere più realistico il grafico consideriamo i dati dedotti da un esercizio (Cottignoli 3) il cui testo recita:
Un trasformatore ha i seguenti dati di targa
\(S_n=8kVA; \hspace{1cm} V_{1n}=1000V; \hspace{1cm} V_{20}=250V; \hspace{1cm} v_{cc}%=5%; \hspace{1cm}P_{cc}%=0.4; \hspace{1cm} I_0%=8%; \hspace{1cm} cos\varphi_0=0.15 \)